Viết bởi: Ciamac Moallemi, Dan Robinson, Paradigm Biên soạn bởi: Yangz, Techub News

Trong bài viết này, chúng tôi sẽ giới thiệu một nhà tạo lập thị trường tự động (AMM) mới được tùy chỉnh cho các thị trường dự đoán: pm-AMM. AMM và các tiền thân của chúng như quy tắc chấm điểm thị trường ban đầu được phát minh như một cách để cung cấp tính thanh khoản cho các thị trường dự đoán. Hiện tại họ thống trị khối lượng giao dịch của hầu hết các DEX. Tuy nhiên, trớ trêu thay, trong khi các thị trường dự đoán chứng kiến ​​​​khối lượng giao dịch tăng mạnh, hầu hết chúng đều sử dụng sổ đặt hàng chứ không phải AMM. Một lý do có thể cho điều này là các AMM hiện tại không phù hợp với mã thông báo kết quả (tức là nếu một sự kiện xảy ra, giá của mã thông báo là 1 USD và nếu sự kiện không xảy ra thì giá của mã thông báo là 0 USD). Sự biến động của mã thông báo dẫn đến phụ thuộc vào xác suất hiện tại của sự kiện và thời điểm hết hạn thị trường được dự đoán, có nghĩa là tính thanh khoản do nhóm tài sản cung cấp không nhất quán. Khi thị trường dự đoán hết hạn, về cơ bản, các nhà cung cấp thanh khoản (LP) sẽ mất hết giá trị. Vì mục đích này, chúng tôi đề xuất một AMM mới được tối ưu hóa dựa trên những cân nhắc này, nhằm giải quyết một câu hỏi lâu dài trong nghiên cứu AMM, cụ thể là, việc tối ưu hóa AMM cho một loại tài sản cụ thể có ý nghĩa gì? Nói cách khác, đưa ra một mô hình cho một tài sản nhất định (chẳng hạn như quyền chọn, trái phiếu, stablecoin hoặc mã thông báo kết quả), nó ảnh hưởng như thế nào đến AMM mà chúng tôi áp dụng? Chúng tôi đề xuất một câu trả lời khả thi cho câu hỏi này dựa trên khái niệm tổn thất và tái cân bằng (LVR).

Chúng tôi đã xây dựng một mô hình cho sự biến động giá của một số mã thông báo kết quả mà chúng tôi gọi là động lực điểm Gaussian. Mô hình này có thể phù hợp với các thị trường dự đoán, có khả năng dự đoán liệu một số xu hướng ngẫu nhiên cơ bản (như chênh lệch điểm số trong một trận bóng rổ, chênh lệch phiếu bầu trong một cuộc bầu cử hoặc giá của một số tài sản) có cao hơn một giá trị nhất định tại một thời điểm hết hạn cụ thể trong tương lai. Chúng tôi sử dụng mô hình này để tạo ra AMM dựa trên bất biến mới cho các mã thông báo này, bất biến pm-AMM tĩnh:

Trong số đó, x là khoản dự trữ của mã thông báo kết quả trong AMM, y là khoản dự trữ của mã thông báo kết quả ngược lại và bổ sung của nó, L là tính thanh khoản tổng thể hoặc hệ số tỷ lệ, và ϕ và Φ biểu thị hàm mật độ xác suất và hàm phân phối tích lũy của thông thường phân phối tương ứng. Bất biến ở trên dựa trên một khái niệm mạnh mẽ, đó là tổn thất và tái cân bằng (LVR), mà chúng ta có thể coi là tốc độ AMM mất tiền do chênh lệch giá LVR phụ thuộc vào hình dạng của AMM và biến động giá của nó. tài sản cơ bản được giao dịch trên AMM. Chúng tôi xác định AMM thống nhất cho một nội dung vì nếu được sử dụng cho nội dung đó thì LVR của AMM tỷ lệ thuận với giá trị danh mục đầu tư của nó tại một thời điểm nhất định, bất kể giá hiện tại như thế nào. Milionis và cộng sự lập luận rằng đối với những tài sản có giá tuân theo chuyển động Brown hình học (GBM, một mô hình phổ biến về biến động giá của các tài sản thông thường như cổ phiếu và tiền điện tử), các nhà tạo lập thị trường trung bình hình học không đổi như Uniswap và Balancer là những AMM thống nhất duy nhất. pm-AMM tĩnh là một AMM thống nhất cho hành vi nội dung tuân theo mô hình động phân đoạn Gaussian được đề xuất của chúng tôi về mã thông báo kết quả. Mặc dù pm-AMM tĩnh có LVR thống nhất (dưới dạng một phần giá trị danh mục đầu tư) ở mọi mức giá, LVR vẫn tăng khi ngày hết hạn của thị trường dự đoán đến gần. Điều này là do thị trường dự đoán có thể rất biến động khi gần hết hạn. Để điều chỉnh pm-AMM nhằm giảm tính thanh khoản của nó sao cho LVR dự kiến ​​của AMM không đổi tại mọi thời điểm trong khoảng thời gian còn lại trước khi hết hạn, chúng tôi rút ra bất biến động pm-AMM, phụ thuộc vào thời gian hết hạn Tt:

Cơ chế pm-AMM động ngăn LVR tăng khi ngày hết hạn đến gần bằng cách cung cấp tính thanh khoản giảm. Trong một nhóm thực, điều này không hẳn là mong muốn, đặc biệt vì hoạt động giao dịch không chênh lệch giá (và do đó phí) cũng có thể tăng theo thời gian. Tuy nhiên, pm-AMM cung cấp một khuôn khổ để các nhà cung cấp thanh khoản điều chỉnh tính thanh khoản dựa trên mức phí dự kiến ​​và cách họ muốn phân bổ rủi ro chênh lệch giá. Các AMM này có thể giúp hướng dẫn thanh khoản thụ động trong các thị trường dự đoán trên chuỗi. Các khái niệm về AMM hợp nhất và các phương pháp liên quan cũng có thể được áp dụng rộng rãi hơn cho các nhà thiết kế DEX, những người có thể sử dụng các phương pháp này để tùy chỉnh AMM cho các loại tài sản khác có chuyển động giá không tuân theo chuyển động Brownian hình học, chẳng hạn như stablecoin, trái phiếu, quyền chọn hoặc các dẫn xuất khác.

Hình 1 cho thấy các đường cong bất biến của pm-AMM tĩnh và động và so sánh chúng với các đường cong bất biến nổi tiếng khác, cụ thể là Nhà tạo lập thị trường sản phẩm không đổi (CPMM) và Quy tắc chấm điểm thị trường logarit (LMSR). Lưu ý rằng đường cong dự trữ động của pm-AMM mang lại tính thanh khoản thấp hơn theo thời gian.

Hình 2 cho thấy “ dấu vân tay thanh khoản ” sẽ xảy ra nếu bất biến pm-AMM tĩnh được triển khai trên AMM thanh khoản tập trung Uniswap v3 so với CPMM và LMSR. Trục hoành tương ứng với thang logarit của giá tương đối (giá của mã thông báo x chia cho giá của mã thông báo y) và trục tung tương ứng với tính thanh khoản của từng AMM ở mức giá đó. Có thể thấy rằng so với hai lựa chọn thay thế này, pm-AMM tập trung nhiều thanh khoản hơn khi giá tương đối là 1 (xác suất là 50%, tức là giá token bằng 0,50), trong khi ở mức giá tương đối cực cao ( Cực kỳ thấp hoặc cực cao), thanh khoản ít tập trung hơn.

Thị trường dự đoán là một ứng dụng ngày càng phổ biến trong tiền điện tử. Chỉ riêng trong tháng 10 năm 2024, khối lượng giao dịch của Polymarket đã vượt quá 2 tỷ USD. Tuy nhiên, hầu hết tính thanh khoản trong thị trường dự đoán tiền điện tử được cung cấp trên sổ đặt hàng, thay vì AMM, mặc dù AMM chiếm phần lớn khối lượng giao dịch DEX cho tiền điện tử. Một trong những lý do có thể là hành vi giá của các token thu được khác với hành vi của tài sản thông thường, do đó các AMM được thiết kế cho chúng không thể hoạt động ổn định. Ví dụ: hãy tưởng tượng một thị trường dự đoán cho trò chơi tung đồng xu trong đó ai đó tung đồng xu 1001 lần, với mỗi kết quả (ngửa và ngửa) tương ứng với hai mã thông báo x và y. Cuối cùng, nếu có nhiều mặt ngửa hơn mặt ngửa thì mã thông báo x có giá trị 1 đô la và nếu có nhiều mặt ngửa hơn mặt ngửa thì mã thông báo x có giá trị 0 đô la; điều ngược lại cũng đúng với mã thông báo y. Sự biến động của những đồng xu thu được này phụ thuộc rất nhiều vào số lần tung còn lại và lần tung hiện tại. Tình hình hiện tại càng gần và càng ít lần tung, những đồng tiền này sẽ càng biến động. Điều này có nghĩa là tổn thất liên tục của nhà tạo lập thị trường sản phẩm (phụ thuộc vào sự biến động như được giải thích bên dưới) rất khác nhau theo thời gian.

Hình 3 cho thấy sự biến động giá mã thông báo dẫn đến là một hàm của giá mã thông báo và thời gian còn lại theo động lực phân đoạn Gaussian. Nhiều thị trường dự đoán phổ biến tương tự như ví dụ tung đồng xu này, đặt cược vào việc liệu một xu hướng ngẫu nhiên sẽ kết thúc trên hay dưới 0 tại một ngày hết hạn trong tương lai. Ví dụ:

Mô hình thay đổi giá của mã thông báo kết quả mà chúng tôi xác định trong bài viết này, cụ thể là mô hình động phân đoạn Gaussian, được lấy cảm hứng từ các ví dụ như vậy. Mô hình giả định rằng giá thị trường được dự đoán phù hợp với xác suất mà một số chuyển động Brown cơ bản sẽ kết thúc trên mức 0. Mô hình này tương tự như mô hình Black-Scholes cho quyền chọn nhị phân (quyền chọn nhị phân là một công cụ thanh toán một số tiền cố định nếu giá của tài sản cao hơn giá thực hiện nhất định và trả một số tiền cố định nếu giá của tài sản đó cao hơn giá thực hiện). tài sản thấp hơn một mức giá thực hiện nhất định) thì phải trả 0 USD). Tuy nhiên, trong mô hình của chúng tôi, quy trình cơ bản không bắt buộc phải tương ứng với giá của tài sản có thể giao dịch. Chúng tôi đưa ra một giả định đơn giản hóa rằng giá của mã thông báo kết quả phù hợp với xác suất là 1 đô la. Giả định này bỏ qua các đặc điểm quan trọng của thị trường, bao gồm rủi ro và ưu tiên về thời gian, vì vậy việc kiểm tra xem các đặc điểm này ảnh hưởng đến mô hình này như thế nào sẽ là chủ đề nghiên cứu trong tương lai. Ngoài ra, chúng ta cũng nên thấy rằng không phải tất cả các thị trường dự đoán đều phù hợp với mô hình động phân đoạn Gaussian, bởi vì mô hình này giả định rằng tốc độ xuất hiện thông tin mới là có thể dự đoán được. Ví dụ: một trận bóng rổ có thể phù hợp với mô hình này hơn một trận bóng đá vì các trận bóng rổ có tỷ số ghi bàn thường xuyên hơn nhiều và do đó sự chênh lệch về điểm số tăng lên một cách nhất quán hơn theo thời gian. Ngoài ra, một số loại thị trường dự đoán hoàn toàn khác với mô hình này, chẳng hạn như dự đoán liệu một sự kiện bất ngờ xảy ra một lần (chẳng hạn như động đất) có xảy ra vào một ngày nhất định hay không. Nhưng một lần nữa, mô hình này có thể là điểm khởi đầu hữu ích để tạo ra các mô hình cho các động lực khác và có thể đóng vai trò là minh chứng cho các phương pháp tạo ra AMM thống nhất cho bất kỳ mô hình nào.

Sau khi làm rõ mô hình này, chúng tôi đã tìm ra một cơ chế có thể phù hợp hơn với các mã thông báo này so với các AMM hiện có, chẳng hạn như các nhà tạo lập thị trường sản phẩm cố định hoặc LMSR. Số liệu hướng dẫn mà chúng tôi sử dụng là tỷ lệ tổn thất dự kiến ​​của các nhà cung cấp thanh khoản, có thể được mô tả là tỷ lệ thua lỗ so với tái cân bằng hoặc LVR. LVR nắm bắt được chi phí lựa chọn bất lợi chính của AMM: khi không có giao dịch, giá AMM không thay đổi và trở nên cũ khi có thông tin mới. LVR phản ánh chi phí mà các nhà cung cấp thanh khoản AMM phải gánh chịu vì những mức giá lỗi thời này được khai thác bởi các nhà kinh doanh chênh lệch giá có hiểu biết tốt hơn, những người thực hiện giao dịch chênh lệch giá ở mức giá bất lợi cho AMM. Do đó, LVR có thể được coi là khoản phí mà AMM trả cho các nhà kinh doanh chênh lệch giá để điều chỉnh giá của nó. Ngoài ra, nếu không tính phí giao dịch, LVR cũng là khoản lỗ do nhà cung cấp thanh khoản đồng bằng bảo hiểm rủi ro cho vị thế LP của họ bằng cách nắm giữ một vị thế bán cho chính xác cùng số lượng token như một phần của quỹ dự trữ chung. Do đó, LVR xây dựng dựa trên những hiểu biết chính của mô hình định giá quyền chọn Black-Scholes. Giống như các quyền chọn loại bỏ rủi ro thị trường bằng cách phòng ngừa rủi ro delta bằng tài sản cơ bản, LVR định giá các vị thế LP trong AMM sau khi loại bỏ rủi ro thị trường. Nghĩa là, LVR tách biệt tính đặc thù của việc trở thành nhà cung cấp thanh khoản trong AMM, thay vì chỉ chấp nhận rủi ro thị trường khi nắm giữ các mã thông báo giống như dự trữ của AMM. Chúng tôi xem xét một AMM dựa trên bất biến đơn giản mà không mất phí hoặc cơ chế tái chế MEV. Trong trường hợp này, AMM chắc chắn sẽ mất tiền do chênh lệch giá và không có bất biến AMM nào có thể loại bỏ LVR (ngoại trừ bất biến dẫn đến không có giao dịch nào cả). Hơn nữa, ngay cả việc “giảm thiểu” LVR cũng không có ý nghĩa thực tế, bởi vì giảm LVR chỉ đồng nghĩa với việc giảm thanh khoản được cung cấp. Tuy nhiên, mặc dù chúng tôi không thể loại bỏ LVR, nhưng chúng tôi có thể làm cho LVR đồng đều hơn để phần trăm giá trị nhóm bị mất không phụ thuộc vào giá hiện tại của tài sản. Chúng tôi gọi tính chất này là tính đồng nhất. Hãy tưởng tượng một nhà tài trợ sẵn sàng cung cấp tính thanh khoản trên một số thị trường dự đoán không tính phí để tìm hiểu kết quả mà thị trường dự đoán. Nhà tài trợ sẽ mất tiền, nhưng họ cũng muốn chia đều các khoản lỗ hơn là tập trung các khoản lỗ vào một thời điểm cụ thể hoặc ở một mức giá cụ thể. Trong trường hợp này, giá trị danh mục đầu tư hiện tại của nhóm tài sản có thể được coi là “ngân sách” của nhà tài trợ. Trên một AMM hợp nhất, nếu một nhà tài trợ đầu tư 1 USD thanh khoản vào một thời điểm nhất định, khoản lỗ dự kiến ​​của họ tại thời điểm tiếp theo không liên quan gì đến trạng thái hiện tại của nhóm. Ngoài ra, tính đồng nhất còn có ý nghĩa tiềm ẩn đối với các nhà cung cấp thanh khoản tìm kiếm lợi nhuận. Ngay cả khi AMM có thể thu được một số lợi nhuận từ thua lỗ và tái cân bằng hoặc thậm chí kiếm được lợi nhuận (thông qua phí hoán đổi khác 0 hoặc thông qua các cơ chế đấu giá như thuế MEV ), nó vẫn sẽ cần một số chiến lược để xác định cách phân bổ các dòng tiền ở các mức giá khác nhau và vào các thời điểm khác nhau theo giới tính. Chúng ta có thể coi khoản lỗ dự kiến ​​của nhóm không tính phí là thước đo mức độ thanh khoản mà chiến lược phân bổ tại một thời điểm nhất định, một thước đo có tính đến quá trình định giá của tài sản. Chúng tôi xác định AMM hợp nhất dành riêng cho tài sản là AMM có LVR dự kiến ​​là một phần không đổi của giá trị hiện tại của nhóm tài sản, bất kể giá hiện tại của tài sản đó như thế nào. Lưu ý rằng việc AMM có LVR thống nhất hay không phụ thuộc vào quá trình định giá của chính tài sản đó. Như được hiển thị trong Phụ lục B.2 của Milionis và cộng sự, nếu giá của một tài sản tuân theo chuyển động Brown hình học thì AMM thống nhất về cơ bản duy nhất giữa tài sản và vị thế là nhà tạo lập thị trường trung bình hình học có trọng số, có bất biến là:

Đây là công thức được sử dụng trong Balancer, trong đó công cụ tạo thị trường sản phẩm không đổi được sử dụng trong Uniswap v2 cũng là một trường hợp đặc biệt. Nhưng đối với các token tuân theo động lực học phân số Gaussian, AMM trung bình hình học không đổi không có LVR thống nhất. Điều tương tự cũng xảy ra với Quy tắc tính điểm thị trường nhật ký (LMSR).

Hình 4 hiển thị LVR của CPMM và LMSR cho mã thông báo kết quả động phân đoạn Gaussian tại thời điểm Tt=1 so với LVR thống nhất của pm-AMM tĩnh. Ngoài những cân nhắc này, chúng tôi đã phát triển hai AMM được thiết kế cho thị trường dự đoán theo động lực phân số Gaussian: một AMM có LVR thống nhất tại bất kỳ thời điểm nào, nhưng khi ngày hết hạn của thị trường dự đoán đến gần, LVR kia sẽ tăng lên; và LVR dự kiến ​​không đổi trong khung thời gian còn lại. Như có thể thấy trong Hình 4, khi giá token thu được trong trường hợp cực đoan gần bằng 0 hoặc 1, CPMM và LMSR sẽ có LVR lớn hơn. Điều này là do, mặc dù mức độ biến động giá thấp hơn quanh những điểm này (xem Hình 3), nhưng giá trị của nhóm tài sản lại giảm nhanh hơn ở mức giá cực cao. Do đó, một AMM hợp nhất sẽ cung cấp ít thanh khoản hơn ở mức giá cực cao, đó chính xác là những gì thiết kế của pm-AMM thực hiện (xem Hình 2).

AMM có nguồn gốc từ thị trường dự đoán và quy tắc tính điểm thị trường (chẳng hạn như LMSR). Các quy tắc này đã dẫn đến việc phát hiện ra các nhà tạo lập thị trường có chức năng không đổi (CFMM) chẳng hạn như Uniswap v2 , thường được đặc trưng bởi mối quan hệ bất biến giữa dự trữ của AMM cho mỗi tài sản. AMM dựa trên thiết kế này đã trở thành cơ chế thị trường chủ đạo của DEX trong những năm gần đây. Gần đây, quan điểm kinh tế tài chính đã được áp dụng để hiểu chi phí của các nhà tạo lập thị trường tự động dưới dạng thua lỗ và tái cân bằng (LVR), tập trung chủ yếu vào chuyển động Brown hình học. Mặt khác, động lực giá của các thị trường dự đoán rất khác nhau vì chúng có lợi nhuận và thời gian giới hạn. Taleb đã đề xuất một động lực dựa trên quy trình bỏ phiếu cơ bản có thể quan sát được, trong khi chúng tôi phát triển một động lực khác dựa trên quy trình phân số Gaussian có thể quan sát cơ bản. Đã có một số nghiên cứu ứng dụng trước đây về thiết kế các nhà tạo lập thị trường tự động cho các tài sản không phải GBM. Một ví dụ là StableSwap , một AMM được thiết kế cho các cặp stablecoin dựa trên tiền đề trực quan rằng các nhà tạo lập thị trường tự động giữa các tài sản có liên quan và có giá trị trung bình nên tập trung chặt chẽ thanh khoản ở một mức giá, nhưng nguồn gốc của nó không liên quan đến việc lập mô hình quy trình giá tài sản. Một ví dụ khác là YieldSpace , một AMM được thiết kế đặc biệt cho trái phiếu không trả lãi. Mặc dù việc tạo ra YieldSpace bao gồm một mô hình định giá trái phiếu không lãi suất đơn giản nhưng nó không bao gồm một mô hình hoàn chỉnh về quy trình định giá (sự phát triển của lãi suất không được mô hình hóa). Ngoài ra, có một số công việc trong giới học thuật nhằm thiết kế các mô hình thị trường thời gian thực xung quanh niềm tin về hành vi giá tài sản. Một ví dụ là thiết kế của Goyal et al . Khuôn khổ của họ được thiết kế xoay quanh việc tối đa hóa tính thanh khoản tích cực dự kiến, thay vì điều chỉnh các khoản lỗ dự kiến ​​và do đó đôi khi dẫn đến kết quả trái ngược với kết quả của chúng tôi. Ví dụ: đạo hàm của chúng gợi ý rằng nếu các nhà cung cấp thanh khoản kỳ vọng giá tương đối của một tài sản duy trì ở mức 1 thì LMSR (tập trung thanh khoản quanh mức giá 1 so với CPMM) là rất phù hợp trong khi khuôn khổ của chúng tôi gợi ý rằng , nếu dự kiến ​​sẽ có sự phân kỳ giá; (như trong trường hợp mã thông báo kết quả), thì việc tập trung thanh khoản xung quanh 1 là hợp lý.

Chúng ta có thể xem xét thị trường dự đoán cho một sự kiện và AMM giao dịch hai tài sản cạnh tranh. Một trong những tài sản rủi ro được thể hiện bằng AMM duy trì bất biến f(x,y)=L, trong đó f(⋅,⋅) là hàm bất biến của dự trữ (x,y) và L là hằng số. Cho giá P của tài sản x (bằng đô la Mỹ), thì hàm giá trị của nhóm tài sản là:

Đây là giá trị của nhóm tài sản khi giá của x là P. Vì việc nắm giữ một đơn vị tài sản x và y tương ứng với việc nắm giữ tiền mặt nên chúng ta phải đặt giá của y là 1-P. Giả sử có một nhóm nhà kinh doanh chênh lệch giá có thể quan sát giá Pt của tài sản x (và giá 1-Pt của tài sản y) tại mỗi thời điểm t. Giả sử không có phí giao dịch hoặc xung đột khác, những nhà kinh doanh chênh lệch giá này sẽ liên tục theo dõi AMM và cố gắng thu được giá trị từ bất kỳ hành vi định giá sai nào của AMM. Để theo đuổi mục tiêu tối đa hóa lợi nhuận của mình, họ sẽ giao dịch với AMM để giảm thiểu giá trị dự trữ AMM. Nếu chúng ta sử dụng Vt để biểu thị giá trị dự trữ tại thời điểm t (khi giá là Pt), thì Vt = V(Pt). Ví dụ 1: Trong trường hợp nhà tạo lập thị trường sản phẩm không đổi (CPMM), bất biến là f(x,y)≜xy và hàm giá trị nhóm tài sản là:

Ví dụ 2: Quy tắc xếp hạng thị trường logarit (LMSR) do Robin Hanson tạo ra có thể được xem như một AMM thỏa mãn bất biến sau.

Hàm giá trị nhóm tài sản của nó là (tỷ lệ thuận với entropy nhị phân của sự kiện được ngụ ý bởi giá):

Biểu thị giải pháp tối ưu cho bài toán tối ưu hóa (1) bằng 1, nhưng có thể áp dụng cho môi trường hiện tại: Định lý 1. Đối với tất cả các mức giá P ≥0, hàm giá trị của nhóm tài sản thỏa mãn:

Làm thế nào để giá tài sản rủi ro thay đổi theo thời gian dựa trên cái mà chúng ta gọi là động lực học phân số Gaussian? Cụ thể, chúng ta giả sử tồn tại một quá trình ngẫu nhiên {Zt} trong khoảng thời gian t∈[0,T], trong đó các sự kiện được xác định bởi dấu của Zt tại cuối khoảng thời gian t=T: Nếu ZT ≥ 0 thì tài sản x được hoàn trả, nếu ZT<0 thì tài sản y được hoàn trả. Chúng ta có thể hiểu Zt là điểm chênh lệch giữa hai đội trong một cuộc thi đấu song phương. Vì vậy, chúng ta sẽ coi Zt là một quá trình tính điểm. Lưu ý rằng mặc dù mô hình của chúng tôi giả định sự tồn tại của quy trình phân đoạn này, AMM không yêu cầu quan sát trực tiếp các quy trình này. Như được giải thích bên dưới, AMM có thể suy ra giá trị hiện tại của phân số dựa trên giá cận biên (sau khi kinh doanh chênh lệch giá) và thời gian hết hạn. Chúng ta giả định rằng Zt tuân theo sự biến đổi ngẫu nhiên. Cụ thể, chúng ta giả sử Zt là chuyển động Brown có độ biến thiên σ>0, nghĩa là dZt=σdBt, trong đó Bt là chuyển động Brown tiêu chuẩn. Khi đó, không khó để thấy rằng giá Pt của tài sản x tại thời điểm t là:

Trong số đó, Φ(⋅) là hàm phân phối tích lũy chuẩn chuẩn hóa (CDF). Áp dụng định lý Itô, Pt phải thỏa mãn:

Trong số đó, ϕ(⋅) là hàm mật độ xác suất chuẩn chuẩn hóa và Φ-1(⋅) là CDF nghịch đảo. Lưu ý rằng trong khi động lực của phân số và sự chuyển đổi từ phân số sang giá hoặc ngược lại phụ thuộc vào σ, thì động lực của quá trình giá riêng biệt Pt không phụ thuộc vào σ. Những biến động động này là hàm của giá và thời gian còn lại được thể hiện trong Hình 3.

Theo thảo luận ở trên, nếu chúng ta sử dụng Vt để biểu thị giá trị dự trữ của nhóm tài sản tại thời điểm t (giá tại thời điểm này là Pt), thì Vt=V(Pt). Áp dụng định lý Itô, chúng ta có thể kết luận rằng giá trị nhóm tài sản thay đổi theo công thức sau:

Vì giá Pt là một martingale nên số hạng thứ hai của (2) cũng là một martingale, có thể tăng hoặc giảm. Tuy nhiên, theo V(⋅) (xem Định lý 1), số hạng thứ nhất tương ứng với một phép biến đổi âm và do đó là một quá trình giảm. Đây là quá trình mất mát và tái cân bằng do Milionis và cộng sự đề xuất, nhằm nắm bắt giá trị bị mất bởi các nhà kinh doanh chênh lệch giá, những người phòng ngừa rủi ro đối với các nhóm tài sản ở mức giá bất lợi. Chúng tôi xác định tốc độ tức thời của tổn thất này là:

Milionis và cộng sự nhận thấy rằng đối với các tài sản tuân theo chuyển động Brown hình học, về cơ bản chỉ có nhà tạo lập thị trường trung bình hình học là AMM thống nhất. Trong thị trường dự đoán theo động lực học phân số Gaussian, để kiểm tra (3), nhóm LVR hợp nhất phải giải phương trình vi phân thông thường (ODE) sau:

Điều này là không thể vì vế trái của phương trình phụ thuộc vào t, còn vế phải thì không. Vấn đề cốt lõi ở đây là động lực học của chuyển động Brown hình học là bất biến theo thời gian, trong khi động lực học của chuyển động phân đoạn Gauss phụ thuộc nhiều vào thời gian. Để giải quyết vấn đề này, chúng ta cho phép α liên quan đến thời gian, nghĩa là, chúng ta có thể đặt α=β/(Tt), trong đó β>0, sau đó xem xét cách thiết lập như vậy, cụ thể là:

Điều này tương đương với ODE cho P ≥0. Ngoài ra, V(⋅) còn có một số yêu cầu bổ sung, chẳng hạn như V′′(P)<0 (xem Định lý 1).

ODE ở trên có thể được đơn giản hóa bằng cách thay đổi biến u=Φ-1(P). Khi β=1/2, tồn tại một nghiệm thỏa mãn cả ODE và độ lõm bổ sung, và giá trị của nó là:

Dự trữ của mã thông báo x và y là:

Ở đây, L ≥0 là tham số thanh khoản xác định quy mô của quy mô nhóm vốn. Quan sát y∗(P)-x∗(P)=LΦ-1(P) và thay thế vào (5), khi đó dự trữ quỹ (x, y) phải thỏa mãn bất biến:

Ở đây, L ≥0 là tham số thanh khoản xác định quy mô của quy mô nhóm vốn. Quan sát y∗(P)-x∗(P)=LΦ-1(P) và thay nó vào (5), khi đó dự trữ quỹ (x, y) phải thỏa mãn bất biến:

Đây là định nghĩa của pm-AMM tĩnh. Theo thiết kế, AMM thỏa mãn mối quan hệ sau:

Xác định Vˉt=E[Vt] là giá trị nhóm dự kiến, từ (2) có thể suy ra:

Giải phương trình vi phân thông thường này sẽ mang lại câu trả lời sau. Nói cách khác, trong các điều kiện dự kiến, giá trị nhóm tài sản của pm-AMM tĩnh sẽ giảm dần theo căn bậc hai của khoảng thời gian còn lại.

Một nhược điểm của pm-AMM tĩnh là mặc dù LVR trên mỗi đô la của nó giống nhau ở tất cả các mức giá có thể, nhưng nó thay đổi theo thời gian. Đặc biệt, mức lỗ trên mỗi 1 USD giá trị tỷ lệ nghịch với thời gian hết hạn, do đó nó sẽ tăng theo thời gian cho đến khi toàn bộ giá trị bị mất khi hết hạn. Thanh khoản năng động. Chúng tôi hình dung một biến thể thời gian động của thiết kế pm-AMM tĩnh, trong đó AMM LP trích xuất thanh khoản theo thời gian để giảm tổn thất. Cụ thể, giả sử giá trị vốn gộp là:

trong đó Lt là hàm trơn xác định mức độ thanh khoản bị loại bỏ (hoặc có khả năng được thêm vào) theo thời gian. Áp dụng định lý Itô cho quá trình giá trị nhóm tài sản Vt≜V(Pt,t), khi đó

Gọi Ct biểu thị giá trị đồng đô la tích lũy của thanh khoản bị rút. Vì giá trị nhóm có quan hệ tuyến tính với tính thanh khoản Lt, nên giá trị đồng đô la của một thay đổi trong Lt tỷ lệ thuận với Vt/LT. Chúng ta có thể nhận được:

Tổng tài sản Wt của AMM LP bao gồm giá trị dự trữ của nhóm quỹ và giá trị tích lũy của thanh khoản đã rút, do đó Wt=Vt+Ct và thỏa mãn:

Điều này có nghĩa là tài sản kỳ vọng của LP Wˉt≜E[Wt] thỏa mãn điều kiện sau, trong đó Vˉt≜E[VT].

Bây giờ, hãy xem xét các lựa chọn cụ thể cho đường cong thanh khoản như sau:

Chúng tôi gọi nó là pm-AMM động. Theo (7), giá trị nhóm tài sản dự kiến ​​Vˉt=E[Vt] thỏa mãn:

Giải phương trình vi phân thông thường này sẽ mang lại câu trả lời sau.

Nói cách khác, trong pm-AMM động, giá trị nhóm dự kiến ​​sẽ giảm tuyến tính sau khi rút tiền. Ngoài ra, do kế thừa hàm giá trị của pm-AMM tĩnh nên tỉ lệ tổn thất LVR trên một đơn vị thời gian là:

Tỷ lệ tổn thất dự kiến ​​là giá trị sau đây, không đổi trong khoảng thời gian t. Nghĩa là, một pm-AMM động sẽ mất tiền của nhà kinh doanh chênh lệch giá với tỷ lệ không đổi (kỳ vọng) theo thời gian.

Cuối cùng, theo (8), quá trình làm giàu kỳ vọng thu được như thể hiện trong hình bên dưới. Vì vậy, cuối cùng một nửa số tài sản ban đầu bị mất.

pm-AMM có thể phù hợp với các thị trường dự đoán được thúc đẩy bởi động lực như mô hình động lực phân đoạn Gaussian. Ngoài ra, nghiên cứu của chúng tôi cũng chỉ ra rằng AMM hợp nhất có thể phù hợp với các loại tài sản khác, chẳng hạn như trái phiếu, quyền chọn và các công cụ phái sinh khác.